ВЕРНАДСКИЙ-ВЕРОЯТНОСТЬ

ВЕРНАДСКИЙ Иван Васильевич (24. 5. 1821-27. 3. 1884), русский экономист. Профессор политэкономии Киевского, затем Московского ун-тов (1846-56), Главного пед. института и Александровского лицея в Петербурге (1861-68). Основатель и ред. журналов "Экономический указатель" (1857-61) и "Экономист" (1858-64). Автор работ по политэкономии, истории экономич. мысли, статистике и таможеннотарифной политике. В период подготовки крестьянской реформы 1861 В. выступал против кабальных условий освобождения крестьян. Сторонник развития крупной капита-листич. пром-сти в России, рассматривал законы капитализма как естеств. и вечные. Взгляды В. были подвергнуты критике со стороны Н. Г. Чернышевского.

Соч. : Очерк теории потребностей, СПБ, 1857; Очерк истории политической экономии, СПБ, 1858; Задачи статистики, "Журнал Министерства народного просвещения", 1852, № 5.

Лит.: Чернышевский Н. Г., О поземельной собственности, "Современник", 1857, № 9, 11; История русской экономической мысли, т. 1, ч. 2, М., 1958, гл. 24; Цаголов Н. А., Очерки русской экономической мысли периода падения крепостного права, М., 1956, гл. 10.

ВЕРНАДСКОГО ПОДЛЁДНЫЕ ГОРЫ, горная система в Вост. Антарктиде, продолжение подлёдных гор Гамбурцева; тянется от Полюса недоступности в севе-ро-сев. -зап. направлении к п-ову Кука, где выходит на поверхность из-под покрывающего её ледникового покрова и прослеживается далее в Юж. океане в виде подводного хр. Гуннерус. Дл. более 2500 км. В юго-юго-вост. части В. п. г. имеют вые. более 2000 м над ур. м. и возвышаются над прилегающими подлёдными равнинами на 1000-1500 м. Открыты в 1964 участниками 9-й сов. ан-тарктич. экспедиции в результате исследований, выполненных в санногусеничном походе по маршруту ст. Восток - Полюс недоступности - ст. Молодёжная. Назв. в честь В. И. Вернадского.

ВЕРНАРДАКИС (Bernardakes) Димитриос (1833, о. Лесбос, -1907, там же), греческий писатель и филолог. Был проф. Афинского ун-та. Свои драмы В. писал на книжном языке кафаревуса. После романтич. трагедий "Мария Докса-патри" (1858), "Кипселиде" (1860) В. написал тираноборческую трагедию "Меро-па" (1866), свидетельствующую о повороте В. к классицизму. На ист. сюжет написаны пьесы "Ефросини" (1876), "Фауста" (1893). Последние пьесы В. - "Антиопа" (1896) и "Никифор Фока" (1905). Творчество В. оказало влияние на развитие греч. театра 2-й пол. 19 в. Перу В. принадлежит кн. "Критика псевдоаттициз-ма" (1884).

Соч. : Dramata, t. I, Athe'nai, 1903.

Лит.: Side r,e s G., Histor^a tu neoelleni-ku theatru, Athenai. 1951; Demaras^K., Historia tes neoellenikes logotechnias, Athenai, 1954. Д. Cnamuc.

BEPHE (Vernet), семья французских живописцев 18-19 вв. : Клод Жозеф В. (14. 8. 1714, Авиньон,- 3. 12. 1789, Париж), автор пейзажей, гл. обр. морских (серия "Порты Франции", 1753-63, Лувр, Париж), где традиции классич. пейзажа К. Лоррена соединяются с романтикой бурь, закатов и лунных ночей, а декоративность - с интересом к свето-воздушной среде. Карл (Антуан Шарль Орас) В. (14. 8. 1758, Бордо, -27. 11. 1836, Париж), сын и ученик Жозефа В., прославился карикатурами на модников и модниц времён Директории, изображениями лошадей; в годы империи стал офиц. живописцем-баталистом, историографом наполеоновской армии. Эмиль Жан О рас В. (30. 6. 1789, Париж,- 17. 1. 1863, там же), сын и ученик Карла В., ист. живописец и баталист, имел неизменный успех у правящих кругов и бурж. публики благодаря сочетанию в его картинах офиц. парадности, поверхностных романтич. эффектов (мелодра-матич. пафос, вост. экзотика) и натурализма. В 1836 и 1842-43 работал в России.

Лит.: Dayot A., Les Vernet, Joseph, Carle, Horace, P., 1898; Ingersoll-S m о u s e F., Joseph Vernet, peintre de marine (1714-1789), P., 1926.

ВЕРНЕР (Werner) Абраам Готлоб (25. 9. 1750, Bepay, близ Гёрлица,-30. 6. 1817, Дрезден), немецкий геолог и минералог. С 1771 изучал естеств. науки в Лейп-цигском ун-те; с 1775 преподавал во Фрейбергской горной академии. Разработал классификацию горных пород и минералов, исходившую из внешних признаков с учётом их хим. состава. Возглавлял распространённое (кон. 18 в. ) направление в геологии - нептунизм, согласно к-рому все горные породы (в т. ч. и из-верженные) образовались как осадки из воды. В. был создателем крупной геоло-гич. школы.

Лит.'г Шафрановский И. И., А. Г. Вернер. Знаменитый минералог и геолог, Л., 1968.

ВЕРНЕР (Werner) Альфред (12. 12. 1866, Мюльхаузен, Эльзас, -15. 11. 1919, Цюрих), швейцарский химик-неорганик, один из основателей химии комплексных соединений. В 1889 окончил высшую политехнич. школу в Цюрихе. В 1890 защитил докторскую дисс. "О пространственном распределении атомов в соединениях азота". С 1893 проф. Цюрихского ун-та. В 1891 В. опубликовал работу о хим. сродстве и валентности, а в 1893 - свой первый труд о строении неорганич. соединений. В. решительно отверг общепринятые представления о постоянной и направленной валентности для истолкования строения неорганич. соединений и предложил координационную теорию комплексных соединений, обоснованию и разработке к-рой посвящены его дальнейшие работы. В. синтезировал большое число соединений, систематизировал их, а также и все известные до него соединения и разработал эксперимент, методы доказательства их строения. Представление В. о внутрикомплексных соединениях помогло уяснить строение многих органич. веществ (хлорофилла, гемоглобина и др. ).

Координац. теория В. получила широкое приложение в разл. областях знаний и легла в основу химии комплексных соединений. Лауреат Нобелевской пр. (1913).

С о ч. в рус пер. : Новые воззрения в области неорганической химии, 5 изд., Л., 1936.

Лит.: Чугаев Л. А., Профессор Альфред Вернер, в его кн. : Избр. труды, т. 3, М., 1962; Сканав и -Григорьева М. С., Альфред Вернер, "Успехи химии", 1945,7. 14, в. 4; Karrer P., Alfred Werner, "Helvetica chimica acta", 1920, v. 3, p. 196.

ВЕРНЕР (Verner) Карл (7. 3. 1846, Орхус,-5. 11. 1896, Копенгаген), датскийязыковед. Автор т. н. закона Вернера, к-рый объясняет чередование глухих и звонких согласных в герм, языках как отражение ранее характерного для этих языков свободного ударения, предшествовавшего сильному экспираторному ударению на корне. В германистике принята след, формулировка "закона Вернера": "Возникшие в результате германского передвижения согласных глухие щелевые h, p, f, s озвончаются в случае, если непосредственно предшествующий гласный не имел на себе индоевроп. главного ударения. Озвончения не происходило в сочетаниях ht, hs, ft, fs, sk, st, sp. Ср. в древнеиндийском pita, готском fadar, древневерхненемецком Fater, древнеанглийском fader - "отец".

Соч. : Eine Ausnahme der ersten Lautver-schiebung, "Zeitschrift fur vergleichende Sprachforschung", 1877, Bd 23, № 2.

Лит.: Сравнительная грамматика германских языков, т. 2, М., 1962. Г. С. Щур.

ВЕРНЕР Константин Антонович (9. 2. 1850-31. 7. 1902), русский земский статистик и агроном, народник, проф. с. -х. экономии в Моск. с. -х. ин-те (1895). Учился в воен. -инж. академии, затем в Киевском ун-те (как вольнослушатель). В 1876, будучи слушателем Петровской с. -х. академии (Москва), участвовал в подаче коллективного студенч. протеста против полицейского режима администрации, за что вместе с В. Г. Короленко и В. Н. Григорьевым был выслан в Вятскую губ. В 1880-84 В. работал в статистич. отделе Моск. губ. земства, здесь занимался статистич. обследованиями, гл. обр. частновладельч. (помещичьего) х-ва, а также пригородного х-ва и промыслов населения губернии. В 1884-89 В. заведовал статистич. бюро Таврич. губ. земства (Симферополь); организовал статистич. обследование селений и дворов нескольких уездов, издал "Памятную книжку Таврической губернии" (1889). При разработке подворных данных в Мелитопольском у. (1887) В., совместно с С. А. Харизоменовым, впервые применил группировку крест, дворов по величине посева. В. И. Ленин высоко оценил метод "таврических земских статистиков" как •"... прием очень удачный, позволяющий точно судить о хозяйстве каждой группы вследствие преобладания в этой местности зерновой системы хозяйства при экстенсивном земледелии" (Поли, собр. соч., 5 изд., т. 3, с. 61-62), и в "Развитии капитализма в России" начал во 2-й гл. анализ разложения крестьянства с рассмотрения именно "Земскоста-тистических данных о Новороссии" (1-й раздел главы). Вместе с тем Ленин критиковал нек-рые ненаучные группировки у В. в "Памятной книжке Таврической губернии", в частности неумелую группировку дворов по величине надела, приводившую к ошибочным выводам (см. там же, с. 73, прим. ). В 90-х гг. В. служил в Удельном ведомстве и в Мин-ве земледелия (Москва). На протяжении почти двух десятилетий (1882-98) В. принимал деятельное участие в работах единств, в то время научнообществ. орг-ции рус. статистиков статистич. отделения Моск. юридич. об-ва при Моск. ун-те.

Соч. : Крестьянское хозяйство в Мелитопольском уезде, Симферополь - М., 1887, совм. с С. Харизоменовым (Сб. статистических сведений по Таврической губернии, т. 1, в. 2); Памятная книжка Таврической губернии, Симферополь, 1889 (Сб. статистических сведений по Таврической губернии, т. 9); Кустарные промыслы Богородского уезда Московской губернии, М., 1890, и др.

Ф. Д. Ливший.

ВЕРНИГЕРОДЕ (Wernigerode), город в ГДР, в округе Магдебург. 32,6 тыс. жиг. (1967). Курорт и центр туризма в горах Гарца. Маш. -строит., электромоторо-строит., хим. фармацевтич. пром-сть. Произ-во алюм. литья. В. известен с 9 в. Старинный замок (перестроен в 19 в. ) - ныне музей феодализма; ратуша 15 в., фахверковые дома 16-17 вв.

ВЕРНИСАЖ (франц. vernissage, букв. - покрытие лаком), торжественное открытие художеств, выставки в присутствии специально приглашённых лиц (художников, деятелей культуры и иск-ва и т. п. ). Ведёт своё назв. от возникшего у художников Франции обычая покрывать картины лаком накануне открытия выставки для публики.

ВЕРНОВ Сергей Николаевич [р. 28. 6 (11. 7). 1910, Сестрорецк], советский физик, акад. АН СССР (1968; чл. -корр. 1953). По окончании (в 1931) Ленингр. политехнич. ин-та работал в Радиевом ин-те АН СССР, с 1936 в Физическом ин-те АН СССР, с 1944 проф. МГУ. Осн. работы по изучению природы и свойств космических лучей в верх, слоях атмосферы и за её пределами. В. открыл и изучил широтный эффект космич. лучей в стратосфере и определил энергетич. спектр первичного излучения. Исследовал переходные эффекты в кос-мич. лучах, выяснил происхождение электроннофотонной компоненты космич. лучей (Гос. пр. СССР, 1949). Совм. с А. Е. Чудаковым и др. В. открыл внеш. радиац. пояс Земли (Ленинская пр., 1960). Награждён орденом Ленина и 3 др. орденами. Портрет стр. 537.

Соч. : Широтный эффект космических лучей в стратосфере и проверка каскадной теории, "Труды Физического ин-та им. П. Н. Лебедева", 1945, т. 3, в. 1; Изучение взаимодействия первичной компоненты космических лучей с веществом в стратосфере, "Журнал экспериментальной и теоретической физики", 1949, т. 19, в. 7; Радиационные пояса Земли на высотах 180 - 250 км. "Искусственные спутники Земли", 1962, в. 13 (совм. с др. ); Измерение интенсивности проникающего излучения на поверхности Луны, "Докл. АН СССР", 1966, т. 169, № 5 (совм. с др. ); Измерения при полете станций "Венера-2", "Венера-3" и "Зонд-3" протонов солнечного происхождения с энергией l-v-5 Мэв, там же, т. 171, № 4 (совм. с др. ). Н. Л. Добротин.

ВЕРНЫЙ, до 1921 назв. г. Алма-Аты, столицы Казах. ССР.

ВЕРНЬЕР, 1) в приборостроении - приспособление для точного отсчёта длин или углов по делениям шкалы. Действие В. основано на способности глаза уверенно устанавливать совпадение 2 штрихов, когда один из них является продолжением другого и концы их совпадают. В. представляет собой подвижную шкалу, к-рая может скользить вдоль основной; деления на подвижной шкале несколько более мелкие, чем на основной. Если интервал между делениями основной шкалы а, а интервал между делениями на В. (а-а1п), то В. позволяет отсчитать основную шкалу с точностью, равной 11п её деления. Деления В. оцифро-ваны в соответствующих долях деления основной шкалы. Если нулевой штрих В. (индекс) находится между двумя штрихами "с" и °С + 1" основной шкалы, то отсчёт равен "с" плюс то показание В., к-рое находится против штриха, наилучшим образом совпадающего с нек-рым штрихом основной шкалы. На рис. цена деления осн. круга 30', цена деления В. соответствует 1'; отсчёт-5°10'. В. был изобретён в 1631 директором Монетного двора во Франш-Конте (Франция) П. Вернье (Р. Vernier, 1580-1637) и назван в его честь. 2) В радиотехнике - приспособление для точной настройки радиоприёмников и др. радиоаппаратуры. Е. А. Юров.

ВЕРНЬО (Vergniaud) Пьер Виктюрньен {31. 5. 1753, Лимож,-31. 10. 1793, Париж), деятель Великой франц. революции. Адвокат. В 1791 избран депутатом Законодат. собрания; был его пред, во время восстания 10 авг. 1792, свергнувшего монархию. Один из лидеров жирондистов, В. был избран депутатом Конвента, где выступал решительным противником монтаньяров. После победы нар. восстания 31 мая - 2 июня 1793 был арестован и по приговору Революц. трибунала казнён.

ВЕРОНА (Verona), город на С. -В. Италии, в обл. Венеция, у подножия Альп, по обоим берегам р. Адидже. Адм. ц. провинции Верона. 254,9 тыс. жит. {1969). Важный трансп. узел на путях из Венеции в Милан и из Паданской равнины в Австрию (через перевал Бреннер). Машиностроит., химич., полиграфич., текст., деревообр., бум., пищ. пром-сть. Периодич. междунар. с. -х. ярмарки. Индустриальный ин-т.

В. - древнее поселение, с 89 до н. э. - РИМ. колония. Близ В. в 489 король остготов Теодорих одержал победу над Одоакром и сделал её одной из своих резиденций. При лангобардах (568-774) В. - центр одного из дукатов (герцогств). С нач. 12 в. - гор. коммуна. В 12 в. В. входила в Ломбардскую лигу. В В. раньше, чем в большинстве городов Италии, сложилась тирания. В 1387 В. была присоединена к Милану, в 1405- к Венеции, вместе с к-рой по Кампоформийскому миру 1797 отошла к Австрии. В 1866 вошла в состав Итал. королевства.

Сохранились римские арена, театр, остатки укреплений (Порта деи Борсари, Порта деи Леони), восходящий к античности мост Понте Пьетра. Облик старой части В. с её узкими прямыми улицами определяют многочисл. ср. -век. постройки. В центре В. - 2 площади: Пьяцца делле Эрбе (быв. антич. форум) с готич. домами Каса деи Мерканти (1301) и Торре дель Гарделло (1370) и барочным Палаццо Маффеи (1668); Пьяцца деи Синьори с романским Палаццо дель Комуне (начато в 1193), дворцом Скалиге-ров (Палаццо дель Говерно; кон. 13 в. ) и ренессансной Лоджией дель Консильо (1475-92, арх. Фра Джоконде). Романские церковь Сан-Дзено Маджоре (5 в., перестроена в 9 в. и 1120-38; бронз, двери портала - 11-12 вв. ) и собор (1139-87; кампанила - 16 в., арх. М. Санмикели); готич. церковь Сант-Анастазия (1291-1323 и 1422-81, в интерьере - фрески Пизанелло). Готич. замок Кастельвеккьо (1354-75) с мостом Скалигеров и предмостными башнями. Ренессансные дворцы (Помпеи, 1530; Каносса, ок. 1530; Бевилаква, 1532) и ворота гор. укреплений (Порта Нуова, 1533-40; Порта Палио, 1557; и др. ) - все арх. М. Санмикели. Музеи: Архео-логич. музей, Музей Кастельвеккьо, Галерея совр. иск-ва.

Лит.: Simeoni L., Verona, Roma, 1929; S с h m i d E., Verona. Brescia, Frauenfeld, 1961.

ВЕРОНАЛ, лекарственный препарат, то же, что барбитал. См. Снотворные средства.

ВЕРОНЕЗЕ (Veronese; собств. Кальяри, Caliari) Паоло (1528, Верона,- 19. 4. 1588, Венеция), венецианский живописец Позднего Возрождения. Учился у веронского худ. А. Бадиле. Работал гл. обр. в Венеции (с 1553), а также в Вероне, Мантуе, Виченце и Падуе. В 1560, возможно, посетил Рим. Произв. В. кон. 1540 - нач. 1550-х гг. говорят об изучении им рисунка Микеланджело, композиц. построений Рафаэля и Корреджо, колористич. открытий Тициана. К сер. 1550-х гг. складывается самостоят, стиль В., сочетающий лёгкий, артистически-изощрённый рисунок и пластику форм с изысканной колористич. гаммой, основанной на сложных созвучиях чистых цветов, объединённых светоносным серебристым тоном. Гл. сфера деятельности В. - монументальнодекоративная живопись. Его исполненные маслом на холсте крупные многофигурные композиции, украшающие стены и плафоны светских и культовых зданий Венеции, часто служат прославлению величия и воен. триумфов Венецианской республики. Им присущи героич. приподнятость образов, энергичная светотеневая лепка, выразительность ракурсов и движений, праздничное, ликующее великолепие цвета ("Старость и Юность", 1553, "Диалектика", 1575-77, "Триумф Венеции", 1578- 1585,- все во Дворце дожей, Венеция; "Триумф Мардохея" и др., 1556, церковь Сан-Себастьяно, Венеция). Выполненные В. фрески в загородных венецианских виллах (вилле Соранцо, 1551, фрагменты фресок ныне в соборе в Кастель-франко; вилле Барбаро-Вольпи в Мазере близ Тревизо, ок. 1561), с их холодной воздушной цветовой гаммой, отличаются большей интимностью образов; наряду с мифологич. композициями и аллегорич. фигурами в них встречаются пейзажи и жанровые сцены с шутливыми иллюзионистическими эффектами. Воплощая гуманистическое идейнообразное содержание в целостных, законченных монументальнодекоративных формах, органически связывая живопись с архитектурой, В. развивает на новом этапе лучшие достижения иск-ва эпохи Возрождения. Излюбленный вид станковой картины В. - торжественные многофигурные композиции с изображением праздничных пиршеств, шествий и аудиенций, в к-рых человек выступает во взаимосвязи с окружающей его обществ, средой ("Брак в Кане", 1563, Лувр, Париж; "Семья Да-рия у ног Александра", после 1565, Нац. галерея, Лондон; цикл картин для семьи Куччина, в т. ч. "Брак в Кане" и "Поклонение волхвов", ок. 1571,- обе в Карт, гал., Дрезден; "Пир в доме Левия", 1573, Галерея Академии, Венеция). Смелое введение конкретных жизненных наблюдений, жанровых мотивов, портретов современников стало причиной обвинения В. инквизицией в 1573 в излишне светской трактовке религ. тем. В. создал большое число алтарных образов, разнообразных по замыслу и композиц. решениям ("Мадонна с младенцем и святыми", ок. 1562, "Обручение св. Екатерины", ок. 1575,- оба в Галерее Академии, Венеция). Немногочисл. портретам В. свойственны мягкая лиричность, иногда оттенок жанровости ("Белла Нани", 1550-е гг., Лувр, Париж; "Граф да Порто с сыном Адриано", ок. 1556, собрание Контини-Бонакосси, Флоренция). Последние годы творчества В. отмечены признаками кризиса ренессансного мировоззрения. В работах В. 1580-х гг. появляются холодная парадность и внешняя патетика; в них проскальзывают вместе с тем настроения смутной тревоги, скорби и меланхолии ("Похищение Европы", 1580, Дворец дожей, Венеция; "Агарь и Исмаил в пустыне", 1580-е гг., Художеств. -ист. музей, Вена; "Оплакивание Христа", нач. 1580-х гг., Эрмитаж, Ленинград). Рафинированный, богатый тончайшими переливами красок колорит становится менее звучным. Среди учеников В. - его брат Бенедетто, сыновья Карло и Габриеле.

Илл. см. на вклейке к стр. 513.

Лит.: Антонова И. А., Веронезе, М., 1957; Fiocco G., Paolo Veronese. Bologna,, 1928; P a 1-lucchini R., Ca-talogo del la mostra di Paolo Veronese, Venezia, 1939; егоже, Veronese, 3 ed., Bergamo, 1953. И. А. Антонова.

ВЕРОНИКА (Veronica), род растений сем. норичниковых. Одно, дву- или многолетние травы, иногда полукустарнички. Венчик голубой, синий, белый или иной окраски, обычно 4-лопастный, часто колосовидный; тычинок - 2; плод - двух-гнёздная коробочка. Ок. 300 видов, обитающих гл. обр. в умеренных и холодных областях Сев. полушария, часто на высокогорьях. В СССР св. 140 видов, встречающихся повсеместно. Нек-рые В. разводят как декоративные. К роду В. часто присоединяют виды рода геба (Hebe) - более 100 видов кустарников и невысоких деревьев, растущих гл. обр. в Н. Зеландии (ок. 90 эндемичных представителей), а также в Австралии, Тасмании, Н. Гвинее и умеренных обл. Юж. Америки. Вечнозелёные красиво цветущие виды геба часто культивируют; в СССР - на Кавказе и в Крыму.

М. Э. Кирпичников.

ВЕРОНСКИЙ КОНГРЕСС 1822, см. в ст. Священный союз.

ВЕРОЯТНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ, одна из мер рассеяния случайных величин. Если а есть математич. ожидание случайной величины X и распределение вероятностей этой величины непрерывно, то В. о. Ех определяется требованием, чтобы вероятность отклонений X от a, больших по абсолютной величине, чем Ех, равнялась вероятности отклонений меньших по абсолютной величине, чем Ех. Если величина X имеет нормальное распределение с дисперсией423e3c_48-1.jpg, то423e3c_48-2.jpg или, округляя этот результат, величина срединного (вероятного) отклонения (ошибки) равна 2/з величины среднего квадратичного отклонения (ошибки).

ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕОРИЯ, математическая наука, позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных к.-л. образом с первыми.Утверждение о том, что к.-л. событие наступает с вероятностью, равной, напр., 1/2, ещё не представляет само по себе окончат, ценности, т. к. мы стремимся к достоверному знанию. Окончат. познават. ценность имеют те результаты В. т., к-рые позволяют утверждать, что вероятность наступления к.-л. события А весьма близка к единице или (что то же самое) вероятность ненаступления события А весьма мала. В соответствии с принципом "пренебрежения достаточно малыми вероятностями" такое событие справедливо считают практически достоверным. Ниже (в разделе Предельные теоремы) показано, что имеющие науч. и практич. интерес выводы такого рода обычно основаны на допущении, что наступление или ненаступление события А зависит от большого числа случайных, мало связанных друг с другом факторов (см. по этому поводу Больших чисел закон). Поэтому можно также сказать, что В. т. есть математич. наука, выясняющая закономерности, к-рые возникают при взаимодействии большого числа случайных факторов.

Предмет теории вероятностей. Для описания закономерной связи между нек-ры-ми условиями S и событием А, наступление или ненаступление к-рого при данных условиях может быть точно установлено, естествознание использует обычно одну из следующих двух схем:

а) при каждом осуществлении условий S наступает событие А. Такой вид, напр., имеют все законы классич. механики, к-рые утверждают, что при заданных начальных условиях и силах, действующих на тело или систему тел, движение будет происходить однозначно определённым образом.

6) При условиях S событие А имеет определённую вероятность P(A/S), равную р. Так, напр., законы радиоактивного излучения утверждают, что для каждого радиоактивного вещества существует определённая вероятность того, что из данного количества вещества за данный промежуток времени распадётся к.-л. число N атомов.

Назовём частотой события А в данной серии из п испытаний (т. е. из п повторных осуществлений условий S) отношение h=m/n числа т тех испытаний, в к-рых А наступило, к общему их числу п. Наличие у события А при условиях S определённой вероятности, равной р, проявляется в том, что почти в каждой достаточно длинной серии испытаний частота события А приблизительно равна р.

Статистич. закономерности, т. е. закономерности, описываемые схемой типа (б), были впервые обнаружены на примере азартных игр, подобных игре в кости. Очень давно известны также статистич. закономерности рождения, смерти (напр., вероятность новорождённому быть мальчиком равна 0,515). Кон. 19 в. и 1-я пол. 20 в. отмечены открытием большого числа статистич. закономерностей в физике, химии, биологии и т. п.

Возможность применения методов В. т. к изучению статистич. закономерностей, относящихся к весьма далёким друг от друга областям науки, основана на том, что вероятности событий всегда удовлетворяют нек-рым простым соотношениям, о к-рых будет сказано ниже (см. раздел Основные понятия теории вероятностей). Изучение свойств вероятностей событий на основе этих простых соотношений и составляет предмет В. т.

Основные понятия теории вероятностей. Наиболее просто определяются основные понятия В. т. как математич. дисциплины в рамках т. н. элементарной В. т. Каждое испытание Т, рассматриваемое в элементарной В. т., таково, что оно заканчивается одним и только одним из событий423e3c_48-3.jpg

423e3c_48-4.jpg (тем или иным, в зависимости от случая). Эти события наз. исходами испытания. С каждым исходом Еk связывается положит, число pk - вероятность этого исхода. Числа pk должны при этом в сумме давать единицу. Рассматриваются затем события А, заключающиеся в том, что "наступает или 423e3c_48-5.jpgили 423e3c_48-6.jpg или423e3c_48-7.jpg Исходы 423e3c_48-8.jpg наз. благоприятствующими А, и по определению полагают вероятность Р(А) события А, равной сумме вероятностей благоприятствующих 423e3c_48-9.jpg ему исходов:

Частный случай423e3c_48-10.jpg приводит к формуле

423e3c_48-11.jpg (2)

Формула (2) выражает т. н. классическое определение вероятности, в соответствии с k-рым вероятность к.-л. события А равна отношению числа г исходов, благоприятствующих А, к числу s всех "равновозможных" исходов. Классич. определение вероятности лишь сводит понятие "вероятности" к понятию "равновозможности", к-рое остаётся без ясного определения.

Пример. При бросании двух игральных костей каждый из 36 возможных исходов может быть обозначен (i, j), где г - число очков, выпадающее на первой кости, j - на второй. Исходы предполагаются равновероятными. Событию А - "сумма очков равна 4", благоприятствуют три исхода (1; 3), (2: 2), (3; 1). Следовательно,423e3c_48-12.jpg

Исходя из к.-л. данных событий, можно определить два новых события: их объединение (сумму) и совмещение (произведение). Событие В наз. объединением событий423e3c_48-13.jpg если оно имеет вид: "наступает или 423e3c_48-14.jpg

Событие С наз. совмещением событий A1, A2, ..., A г, если оно имеет вид:

"наступает и А1, и A2, ..., и Ar".

Объединение событий обозначают знаком 423e3c_48-15.jpg, а совмещение - знаком 423e3c_48-16.jpg. Т. о., пишут:

423e3c_48-17.jpg

События А и В наз. несовместными, если их одновременное осуществление невозможно, т. е. если не существует среди исходов испытания ни одного благоприятствующего и А, и В.

С введёнными операциями объединения и совмещения событий связаны две осн. теоремы В. т.- теоремы сложения и умножения вероятностей.

Теорема сложения вероятностей. Если события A1, A2, ..., Агтаковы, что каждые два из них несовместны, то вероятность их объединения равна сумме их вероятностей.

Так, в приведённом выше примере с бросанием двух костей событие В - "сумма очков не превосходит 4", есть объединение трёх несовместных событий A2, A3, A4, заключающихся в том, что сумма очков равна соответственно 2, 3, 4. Вероятности этих событий 1/36; 2/36; 3/36. По теореме сложения вероятность Р(В) равна

1/36 + 2/36 + 3/36 = 6/36 = 1/6.

Условную вероятность события В при условии Л определяют формулой423e3c_48-18.jpg

что, как можно показать, находится в полном соответствии со свойствами частот. События A1, А2, ..., Аr наз. независимыми, если условная вероятность каждого из них при условии, что какие-либо из остальных наступили, равна его "безусловной" вероятности (см. также Независимость в теории вероятностей). Теорема умножения вероятностей. Вероятность совмещения событий A1, А2, ..., Аr равна вероятности события A1, умноженной на вероятность события A2, взятую при условии, что A1 наступило, ..., умноженной на вероятность события Ar при условии, что A1, А2, ..., Аr-1 наступили. Для независимых событий теорема умножения приводит 423e3c_48-19.jpg к формуле:

т. е. вероятность совмещения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Формула (3) остаётся справедливой, если в обеих её частях нек-рые из событий заменить на противоположные им.

Пример. Производится 4 выстрела по цели с вероятностью попадания 0,2 при отдельном выстреле. Попадания в цель при различных выстрелах предполагаются независимыми событиями. Какова вероятность попадания в цель ровно три раза?

Каждый Исход испытания может быть обозначен последовательностью из четырёх букв [напр., (у, н, н, у) означает, что при первом и четвёртом выстрелах были попадания (успех), а при втором и третьем попаданий не было (неудача)]. Всего будет 2*2*2*2 = 16 исходов. В соответствии с предположением о независимости результатов отдельных выстрелов следует для определения вероятностей этих исходов использовать формулу (3) и примечание к ней. Так, вероятность исхода (у, н, н, н) следует положить равной 0,2-0,8-0,8-0,8 = 0,1024; здесь 0,8 = = 1-0,2 - вероятность промаха при отдельном выстреле. Событию "в цель попадают три раза" благоприятствуют исходы (У, У У, н), (у, у, н, у), (у, н, у, у), (н, у, у, у), вероятность каждого одна и та же:

423e3c_48-20.jpg

следовательно, искомая вероятность равна

4*0,0064 = 0,0256.

Обобщая рассуждения разобранного примера, можно вывести одну из осн. формул В. т.: если события A1, А2, ..., Аn независимы и имеют каждое вероятность р, то вероятность наступления ровно т из них равна

423e3c_48-21.jpg

здесь423e3c_48-22.jpg обозначает число сочетаний из

п элементов по т (см. Биномиальное распределение). При больших п вычисления по формуле (4) становятся затруднительными. Пусть в предыдущем примере число выстрелов равно 100, и ставится вопрос об отыскании вероятности х того, что число попаданий лежит в пределах от 8 до 32. Применение формулы (4) и теоремы сложения даёт точное, но практически мало пригодное выражение искомой вероятности

423e3c_48-23.jpg

Приближённое значение вероятности х можно найти по теореме Лапласа (см. Лапласа теорема)

423e3c_48-24.jpg

причём ошибка не превосходит 0,0009. Найденный результат показывает, что событие 423e3c_48-25.jpg практически достоверно. Это самый простой, но типичный пример использования предельных теорем В. т.

К числу основных формул элементарной В. т. относится также т. н. формула полной вероятности: если события A1, А2, ..., Аr попарно несовместны и их объединение есть достоверное событие, то для любого события В его вероятность равна сумме

423e3c_48-26.jpg

Теорема умножения вероятностей оказывается особенно полезной при рассмотрении составных испытаний. Говорят, что испытание Т составлено из испытаний Т1, Т2, ..., Tn-1, Тn если каждый исход испытания Т есть совмещение нек-рых исходов423e3c_48-27.jpg Yi соответствующих испытаний T1, T2423e3c_48-28.jpg Из тех или иных соображений часто бывают известны вероятности

423e3c_48-29.jpg

По вероятностям (5) с помощью теоремы умножения могут быть определены вероятности Р(Е) для всех исходов E составного испытания, а вместе с тем и вероятности всех событий, связанных с этим испытанием (подобно тому, как это было сделано в разобранном выше примере). Наиболее значительными с практич. точки зрения представляются два типа составных испытаний: а) составляющие испытания независимы, т. е. вероятности (5) равны безусловным вероятностям Р(Ai), P(Bj), ..., P(Yl); б) на вероятности исходов к.-л. испытания влияют результаты лишь непосредственно предшествующего испытания, т. е. вероятности (5) равны соответственно:423e3c_48-30.jpg

В этом случае говорят оО испытаниях, связанных в цепь Маркова. Вероятности всех событий, связанных с составным испытанием, вполне определяются здесь начальными вероятностями P(Ai) и переходными вероятностями 423e3c_48-31.jpg (см. также Марковский процесс).

Случайные величины. Если каждому исходу Er испытания Т поставлено в соответствие число Xr, то говорят, что задана случайная величина X. Среди чисел x1, x2, ... ..., хs могут быть и равные; совокупность различных значений хr при r = 1,2, ..., s называют совокупностью возможных значений случайной величины. Набор возможных значений случайной величины и соответствующих им вероятностей наз. распределением вероятностей случайной величины (см. Распределения). Так, в примере с бросанием двух костей с каждым исходом испытания (i, j) связывается случайная величина X = i + j - сумма очков на обеих костях. Возможные значения суть 2, 3, 4, ..., 11, 12; соответствующие вероятности равны 1/36, 2/36, 3/36, ..., 2/36, 1/36.

При одновременном изучении нескольких случайных величин вводится понятие их совместного распределения, к-рое задаётся указанием возможных значений каждой из них и вероятностей совмещения событий

423e3c_48-32.jpg (6)

где xk - какое-либо из возможных значений величины Xk Случайные величины называются независимыми, если при любом выборе xk события (6) независимы. С помощью совместного распределения случайных величин можно вычислить вероятность любого события, определяемого этими величинами, напр. события423e3c_48-33.jpg

423e3c_48-34.jpg

Часто вместо полного задания распределения вероятностей случайной величины предпочитают пользоваться небольшим количеством числовых характеристик. Из них наиболее употребительны математическое ожидание и дисперсия.

В число осн. характеристик совместного распределения нескольких случайных величин, наряду с математич. ожиданиями и дисперсиями этих величин, включаются коэффициенты корреляции и т. п. Смысл перечисленных характеристик в значит, степени разъясняется предельными теоремами (см. раздел Предельные теоремы).

Схема испытаний с конечным числом исходов недостаточна уже для самых простых применений В. т. Так, при изучении случайного разброса точек попаданий снарядов вокруг центра цели, при изучении случайных ошибок, возникающих при измерении к.-л. величины, и т. д. уже невозможно ограничиться испытаниями с конечным числом исходов. При этом в одних случаях результат испытания может быть выражен числом или системой чисел, в других - результатом испытания может быть функция (напр., запись изменения давления в данной точке атмосферы за данный промежуток времени), системы функций и т. п. Следует отметить, что многие данные выше определения и теоремы с незначительными по существу изменениями приложимы и в этих более общих обстоятельствах, хотя способы задания распределений вероятностей изменяются (см. Распределения, Плотность вероятности).

Наиболее серьёзное изменение претерпевает определение вероятности, к-рое в элементарном случае давалось формулой (2). В более общих схемах, о к рых идёт речь, события являются объединениями бесконечного числа исходов (или, как говорят, элементарных событий), вероятность каждого из к-рых может быть равна нулю. В соответствии с этим свойство, выраженное теоремой сложения, не выводится из определения вероятности, а включается в него.

Наиболее распространённая в наст, время логич. схема построения основ В. т. разработана в 1933 сов. математиком А. Н. Колмогоровым. Осн. черты этой схемы следующие. При изучении к.-л. реальной задачи - методами В. т. прежде всего выделяется множество U элементов и, называемых элементарными событиями. Всякое событие вполне описывается множеством благоприятствующих ему элементарных событий и потому рассматривается как нек-рое множество элементарных событий. С нек-рыми из событий А связываются определённые числа Р(А), называемые их вероятностями и удовлетворяющие условиям:

423e3c_48-35.jpg

Для создания полноценной математич. теории требуют, чтобы условие 3 выполнялось и для бесконечных последовательностей попарно несовместных событий. Свойства неотрицательности и аддитивности есть осн. свойства меры множества. В. т. может, т. о., с формальной точки зрения рассматриваться как часть меры теории. Основные понятия В. т. получают при таком подходе новое освещение. Случайные величины превращаются в измеримые функции, их математич. ожидания - в абстрактные интегралы Лебега и т. п.-Однако основные проблемы В. т. и теории меры различны. Основным, специфическим для В. т. является понятие независимости событий, испытаний, случайных величин. Наряду с этим В. т. тщательно изучает и такие объекты, как условные распределения, условные математич. ожидания и т. п.

Предельные теоремы. При формальном изложении В. т. предельные теоремы появляются в виде своего рода надстройки

над её элементарными разделами, в к-рых все задачи имеют конечный, чисто ариф-метич. характер. Однако познават. ценность В. т. раскрывается только предельными теоремами. Так, Бернулли теорема показывает, что при независимых испытаниях частота появления к.-л. события, как правило, мало отклоняется от его вероятности, а Лапласа теорема указывает вероятности тех или иных отклонений. Аналогично смысл таких характеристик случайной величины, как её математич. ожидание и дисперсия, разъясняется законом больших чисел и центральной предельной теоремой (см. Больших чисел закон, Предельные теоремы теории вероятностей). Пусть

423e3c_48-36.jpg (7)

- независимые случайные величины, имеющие одно и то же распределение вероятностей с423e3c_48-37.jpg

и Yn - среднее арифметическое первых и величин 423e3c_48-38.jpg из последовательности (7):

В соответствии с законом больших чисел, каково бы ни было 423e3c_48-39.jpg вероятность неравенства 423e3c_48-40.jpg имеет при 423e3c_48-41.jpg пределом 1, и, т. о., Yn как правило, мало отличается от а. Центральная предельная теорема уточняет этот результат, показывая, что отклонения Yn от а приближённо подчинены нормальному распределению со средним 0 и дисперсией 423e3c_48-42.jpg Т. о., для определения вероятностей тех или иных отклонений Yn от а при больших n нет надобности знать во всех деталях распределение величин Хn, достаточно знать лишь их дисперсию. В 20-х гг. 20 в. было обнаружено, что даже в схеме последовательности одинаково распределённых и независимых случайных величин могут вполне ес-теств. образом возникать предельные распределения, отличные от нормального. Так, напр., если X1время до первого возвращения нек-рой случайно меняющейся системы в исходное положение, X2 - время между первым и вторым возвращениями и т. д., то при очень общих условиях распределение суммы 423e3c_48-43.jpg (т. е. времени до n-го возвращения) после умножения на423e3c_48-44.jpg (а - постоянная, меньшая 1) сходится к нек-рому предельному распределению. Т. о., время до n-го возвращения растёт, грубо говоря, как 423e3c_48-45.jpg т. е. быстрее п (в случае приложимости закона больших чисел оно было бы порядка п),

Механизм возникновения большинства предельных закономерностей может быть до конца понят лишь в связи с теорией случайных процессов.

Случайные процессы. В ряде физич. и химич. исследований последних десятилетий возникла потребность, наряду с одномерными и многомерными случайными величинами, рассматривать случайные процессы, т. е. процессы, для к-рых определена вероятность того или иного их течения. Примером случайного процесса может служить координата частицы, совершающей броуновское движение. В В. т. случайный процесс рассматривают обычно как однопарамет-рич. семейство случайных величин X(t). В подавляющем числе приложений параметр t является временем, но этим параметром может быть, напр., точка пространства, и тогда обычно говорят о случайной функции. В том случае, когда параметр t пробегает целочисленные значения, случайная функция наз. случайной последовательностью. Подобно тому, как случайная величина характеризуется законом распределения, случайный процесс может быть охарактеризован совокупностью совместных законов распределения для423e3c_48-46.jpg

для всевозможных моментов времени 423e3c_48-47.jpg при любом 423e3c_48-48.jpg В наст, время наиболее интересные конкретные результаты теории случайных процессов получены в двух спец. направлениях. Исторически первыми изучались марковские процессы. Случайный процесс423e3c_48-49.jpg наз. марковским, если для любых двух моментов времени423e3c_48-50.jpg условное распределение вероятностей423e3c_48-51.jpg при условии, что заданы все значения 423e3c_48-52.jpg при 423e3c_48-53.jpg зависит только от423e3c_48-54.jpg (в силу этого марковские случайные процессы иногда наз. процессами без последействия). Марковские процессы являются естеств. обобщением детерминированных процессов, рассматриваемых в классич. физике. В детерминированных процессах состояние системы в момент времени423e3c_48-55.jpgоднозначно определяет ход процесса в будущем; в марковских процессах состояние системы в момент времени 423e3c_48-56.jpg однозначно определяет распределение вероятностей хода процесса при 423e3c_48-57.jpg причём никакие сведения о ходе процесса до момента времени 423e3c_48-58.jpg не изменяют это распределение. Вторым крупным направлением теории случайных процессов является теория стационарных случайных процессов. Стационарность процесса, т. е. неизменность во времени его вероятностных закономерностей, налагает сильное ограничение на процесс и позволяет из одного этого допущения извлечь ряд важных следствий (напр., возможность т. н. спектральногоразложения где423e3c_48-59.jpg случайная 423e3c_48-60.jpg функция с независимыми приращениями). В то же время схема стационарных процессов с хорошим приближением описывает многие физ. явления.

Теория случайных процессов тесно связана с классич. проблематикой предельных теорем для сумм случайных величин. Те законы распределения, к-рые выступают при изучении сумм случайных величин как предельные, в теории случайных процессов являются точными законами распределения соответствующих характеристик. Этот факт позволяет доказывать многие предельные теоремы с помощью соответствующих случайных процессов.

Историческая справка. В. т. возникла в сер. 17 в. Первые работы по В. т., принадлежащие франц. учёным Б. Паскалю и П. Ферма и голл. учёному X. Гюйгенсу, появились в связи с подсчётом различных вероятностей в азартных играх. Крупный успех В. т. связан с именем швейц. математика Я. Бернулли, установившего закон больших чисел для схемы независимых испытаний с двумя исходами (опубл. в 1713).

Следующий (второй) период истории В. т. (18 в. и нач. 19 в.) связан с именами А. Муавра (Англия), П. Лапласа (Франция), К. Гаусса (Германия) и С. Пуассона (Франция). Это - период, когда В. т. уже находит ряд весьма актуальных применений в естествознании и технике (гл. обр. в теории ошибок наблюдений, развившейся в связи с потребностями геодезии и астрономии, и в теории стрельбы). К этому периоду относится доказательство первых предельных теорем, носящих теперь назв. теорем Лапласа (1812) и Пуассона (1837); А. Лежандром (Франция, 1806) и Гауссом (1808) в это же время был разработан способ наименьших квадратов.

Третий период истории В. т. (2-я пол. 19 в.) связан в основном с именами рус. математиков П. Л. Чебышева, А. М. Ляпунова и А. А. Маркова (старшего). В. т. развивалась в России и раньше (в 18 в. ряд трудов по В. т. был написан работавшими в России Л. Эйлером, Н. Бернулли и Д. Бернулли; во второй период развития В. т. следует отметить работы М. В. Остроградского по вопросам В. т., связанным с математич. статистикой, и В. Я. Буняковского по применениям В. т. к страховому делу, статистике и демографии). Со 2-й пол. 19 в. исследования по В. т. в России занимают ведущее место в мире. Чебышев и его ученики Ляпунов и Марков поставили и решили ряд общих задач в В. т., обобщающих теоремы Бернулли и Лапласа. Чебышев чрезвычайно просто доказал (1867) закон больших чисел при весьма общих предположениях. Он же впервые сформулировал (1887) центральную предельную теорему для сумм независимых случайных величин и указал один из методов её доказательства. Другим методом Ляпунов получил (1901) близкое к окончательному решение этого вопроса. Марков впервые рассмотрел (1907) один случай зависимых испытаний, который впоследствии получил назв. цепей Маркова.

В Зап. Европе во 2-й пол. 19 в. получили большое развитие работы по математич. статистике (в Бельгии - А. Кет-ле, в Англии - Ф. Гальтон) и стати-стич. физике (в Австрии - Л. Больц-ман), к-рые наряду с основными теоре-тич. работами Чебышева, Ляпунова и Маркова создали основу для существенного расширения проблематики В. т. в четвёртом (современном) периоде её развития. Этот период истории В. т. характеризуется чрезвычайным расширением круга её применений, созданием нескольких систем безукоризненно строгого математич. обоснования В. т., новых мощных методов, требующих иногда применения (помимо классич. анализа) средств теории множеств, теории функций действительного переменного и функционального анализа. В этот период при очень большом усилении работы по В. т. за рубежом (во Франции - Э. Борель, П. Леви, М. Фреше, в Германии - Р. Мизес, в США - Н. Винер, В. Фел-лер, Дж. Дуб, в Швеции - Г. Крамер) советская наука продолжает занимать значительное, а в ряде направлений и ведущее положение. В нашей стране новый период развития В. т. открывается деятельностью С. Н. Бернштейна; значительно обобщившего классич. предельные теоремы Чебышева, Ляпунова и Маркова и впервые в России широко поставившего работу по применениям В. т. к естествознанию. В Москве А. Я. Хинчин и А. Н. Колмогоров начали с применения к вопросам В. т. методов теории функций действительного переменного. Позднее (в 30-х гг.) они (и Е. Е. Слуцкий) заложили основы теории случайных процессов. В. И. Романовский (Ташкент) и Н. В. Смирнов (Москва) поставили на большую высоту работу по применениям В. т. к математич. статистике. Кроме обширной моек, группы специалистов по В. т., в наст, время в СССР разработкой проблем В. т. занимаются в Ленинграде (во главе с Ю. В. Линником) и в Киеве.

Лит.: Основоположники и классики теории вероятностей. Bernoulli J., Ars conjectandi, opus posthumum, Basueae, 1713 (рус. пер., СПБ, 1913); Laplace |;P. S.], Theorie analytique des probabilites, 3 ed., P., 1886 (CEuvres completes de Laplase, t. 7, livre 1 - 2); Чебышев П. Л., Поли, собр. соч., т. 2-3, М.- Л., 1947-48; ,Liаpounoff A., Nouvelle forme du theoreme sur la limite de probabilite, СПБ, 1901 ("Зап. АН по физико-математическому отделению, 8 серия", т. 12, № 5); Марков А. А., Исследование замечательного случая зависимых испытаний, "Изв. АН, 6 серия", 1907, т. 1, № 3.

Популярная и учебная литература. Гнеденко Б. В. и Хинчин А. Я., Элементарное введение в теорию вероятностей, 3 изд., М.- Л., 1952; Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, 4 изд., М., 1965; Марков А. А., Исчисление вероятностей, 4 изд., М., 1924; Берн-штейн С. Н., Теория вероятностей, 4 изд., М.- Л., 1946; Феллер В., Введение в теорию вероятностей и её приложение (Дискретные распределения), пер. с англ., 2 изд., т. 1-2, М., 1967.

Обзоры и монографии. ГнеденкоБ. В. и Колмогоров А. Н., Теория вероятностей, в кн.: Математика в СССР за тридцать лет. 1917 - 1947. Сб. ст., М.- Л., 1948; Колмогоров А. Н., Теория вероятностей, в кн.: Математика в СССР за сорок лет. 1917 - 57. Сб. ст., т. 1,М., 1959; Колмогоров А. Н., Основные понятия теории вероятностей, пер. с нем., М.- Л., 1936; его же, Об аналитических методах в теории вероятностей, "Успехи математических наук", 1938, в. 5, с. 5 - 41; Хинчин А. Я., Асимптотические законы теории вероятностей, пер. с нем., М.- Л., 1936; Гнеденко Б. В. и Колмогоров А. Н., Предельные распределения для сумм независимых случайных величин, М.-Л., 194Э; Дуб Дж. Л., Вероятностные процессы, пер. с англ., М., 1956; Чандрасе-кар С., Стохастические проблемы в физике и астрономии, пер. с англ., М., 1947; Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А., Теория вероятностей, М., 1967.

Ю. В, Прохоров, Б. Л. Севастьянов.

ВЕРОЯТНОСТНАЯ БУМАГА нормальная, специальным образом разграфлённая бумага, построенная так, что график функции нормального распределения изображается на ней прямой линией. Это достигается изменением шкалы на вертикальной оси (см. рис.). На свойстве "выпрямления" основан простой способ проверки гипотезы о принадлежности данной выборки к нормальной совокупности: если построенная на В. б. эм-пирич. функция распределения хорошо приближается прямой линией, то можно с основанием полагать, что совокупность, из к-рой взята выборка, является приближённо нормальной. Достоинство этого метода состоит в том, что вывод о принадлежности к нормальной совокупности можно сделать без знания численных значений параметров гипотетич. распределения.

Лит.: Арлей Н., Бух К. Р., Введение в теорию вероятностей и математическую статистику, пер. с англ., М., 1951; Diхоn W. J., Мassеу F. J., Introduction to statistical analysis, N. Y.-Toronto - L., 1957. А. В. Прохоров.

ВЕРОЯТНОСТНАЯ ЛОГИКА, логическая система, в которой высказываниям (суждениям, утверждениям, предложениям), помимо истины и лжи, приписываются "промежуточные" истинностныезначения, наз. вероятностями истинности высказываний, степенями их правдоподобия, степенями подтверждения и т. п. Поскольку понятие вероятности естественно соотносить нек-рым событиям, а наступление или ненаступление события есть факт, допускающий (хотя бы в принципе) эмпирич. проверку (в широком смысле - включая т. н. мысленный эксперимент, а также вывод из знания о наступлении или ненаступлении др. событий), то В. л. представляет собой уточнение индуктивной логики. Взаимные переходы от языка высказываний к языку событий и обратно совершаются настолько естественно, что выглядят почти тривиальными: каждому событию сопоставляется высказывание о его наступлении, а высказыванию сопоставляется событие, состоящее в том, что оно оказалось истинным. Специфика В. л. (даже полностью формализованной в логико-матем. терминах) состоит в принципиальной неустранимости неполной достоверности ("относительной истинности") посылок и выводов, присущей всякому индуктивному познанию.

Проблематика В. л. развивалась уже по существу в древности (напр., Аристотелем), а в новое время - Г. В. Лейбницем, Дж. Булем, У. С. Джевонсом, Дж. Венном.

Как логич. система, В. л.- разновидность многозначной логики: истинным высказываниям (достоверным событиям) приписывается истинностное значение (вероятность) 1, ложным высказываниям (невозможным событиям) - значение 0; гипотетич. же высказываниям может приписываться в качестве значения любое действит. число из интервала (О, 1). Вероятность гипотезы, зависящая как от её содержания (формулировки), так и от информации об уже имеющемся знании ("опыта"), есть их функция. Над истинностными значениями (вероятностями) гипотез определяются логические операции: конъюнкция (соответствующая умножению событий в теории вероятностей) и дизъюнкция (соответствующая сложению событий); мерой (значением) отрицания гипотезы является вероятность события, состоящего в её неподтверждении. Значения гипотез образуют при этом т. н. нормированную булеву алгебру, сравнительно простой и хорошо разработанный аппарат к-рой позволяет легко аксиоматизировать теорию вероятностей и является простейшим вариантом В. л.

423e3c_48-61.jpg
 

В соответствии с др. трактовкой понятия вероятности, связанной с т. н. частотной концепцией (определением) вероятности (А. Пуанкаре, М. Смолухов-ский, Р. Мизес), в В. л. получили развитие идеи, согласно к-рым основным объектом её рассмотрения являются не вероятности отдельных событий, а случайные процессы, реализуемые в простейшем случае в виде случайных двоичных последовательностей, т. е. последовательностей нулей и единиц (соответствующих единичным актам ненаступления и наступления нек-рого события при повторных испытаниях).

Интенсивно развивается и проблематика В. л., возникающая при сопоставлении обоих упомянутых подходов (Р. Карнап, Б. Рассел и др.), а также базирующаяся на связи теоретико-вероятностных понятий с идеями теории информации и логической семантики. Все эти направления находятся в процессе разработки как по линии усовершенствования собственно матем. аппарата В. л., так и в отношении теоретико-познават. интерпретации возникающих систем (причём именно в последней области и сосредоточены главные трудности В. л.).

Лит. см. при статьях Вероятностей теория, Индуктивная логика. Многозначная логика. Ю. А. Гастев.

ВЕРОЯТНОСТНЫЙ АВТОМАТ, система, в к-рой переход из одного состояния в другое происходит случайным образом. Вероятность этого перехода определяется последовательностью его предыдущих состояний423e3c_48-62.jpg и входными сигналами423e3c_48-63.jpg и записывается в виде функции Р 423e3c_48-64.jpg означает переход из состояния 423e3c_48-65.jpg в состояние423e3c_48-66.jpg

В. а. используются в формальных моделях процессов обучения, в моделях сложного поведения, когда реакция автомата неоднозначна.

Примером В. а. может служить система автоматич. управления движением транспорта на перекрёстке двух улиц с разной интенсивностью движения. Для простоты рассмотрим В. а. с двумя состояниями: "откр" - проезд по магистрали (улица с интенсивным движением) открыт и "закр" - магистраль перекрыта, разрешено поперечное движение.

423e3c_48-67.jpg

Такой автомат по мере надобности пропускает поперечный транспорт, но не перекрывает магистраль при появлении на поперечном направлении каждой отдельной машины. Численные значения вероятностей переходов и время осн. такта работы автомата необходимо выбирать исходя из конкретного транспортного режима.

В. а. можно представить в виде системы, состоящей из детерминированного автомата и случайных чисел датчика, подающего на один из входов автомата независимые сигналы с заданным распределением вероятностей. Ю. А. Шрейдер.

ВЕРОЯТНОСТНЫЙ ПРОЦЕСС, то же, что случайный процесс.

ВЕРОЯТНОСТЬ математическая, числовая характеристика степени возможности появления к.-л. определённого события в тех или иных определённых, могущих повторяться неограниченное число раз условиях. Как категория науч. познания понятие "В." отражает особый тип связей между явлениями, характерных для массовых процессов. Категория В. лежит в основе особого класса закономерностей - вероятностных или статистич. закономерностей. Численное значение В. в нек-рых случаях получается из "классического" определения В.: В. равна отношению числа случаев, "благоприятствующих" данному событию, к общему числу "равно-возможных" случаев. Напр., если из 10 млн. облигаций гос. выигрышного займа, на к-рые в одном тираже должен выпасть один выигрыш макс, размера, в данном городе размещено 500 тыс. облигаций, то В. того, что макс, выигрыш достанется жителю данного города, равна 500 000/10 000 000 = 1/20.

В других, более сложных случаях определение численного значения В. требует статистического подхода. Напр., если при 100 попытках стрелок попал в цель 39 раз, то можно думать, что для него В. попадания в цель при данных условиях приблизительно равна 4/10. По В., определённой классич. или статистич. способом, могут быть вычислены в соответствии с правилами теории вероятностей новые В. Напр., если для нашего стрелка В. попадания при отдельном выстреле равна 4/10, то В. того, что он будет иметь хотя бы одно попадание при четырёх выстрелах, равна 423e3c_48-68.jpg Этот вывод может быть проверен статистически: если попытки поразить цель хотя бы одним выстрелом из четырёх будут повторяться много раз, то они будут иметь успех приблизительно в 87% случаев (в предположении, что за это время искусство стрелка не изменится заметным образом). Математич. В. является выражением качественно своеобразной связи между случайным и необходимым. При изложении теории вероятностей формулируются в виде аксиом те свойства В., к-рые на данном этапе развития науки необходимы для её развития. Однако ни эти аксиомы, ни классич. подход к В., ни статистич. подход не дают исчерпывающего определения реального содержания понятия "В."; они являются лишь известными приближениями ко всё более полному его раскрытию. Далеко не всякое событие, наступление к-рого при заданных условиях не является однозначно определённым, имеет при этом комплексе условий определённую В. Предположение, что при данных условиях для данного события В., т. е. вполне определённая нормальная доля числа появлений данного события при большом числе повторений данных условий, существует, является гипотезой, к-рая в каждом отдельном вопросе требует спец. проверки или обоснования. Напр., имеет смысл говорить о В. попадания в цель заданных размеров, с заданного расстояния из винтовки известного образца стрелком, вызванным наудачу из определённого воинского подразделения. Однако было бы бессмысленно говорить о В. попадания в цель, если об условиях стрельбы ничего не известно.

По поводу связи В. с частотой надо иметь в виду следующее: при конечном числе п повторений заданных условий доля числа случаев т, в к-рых данное событие появится, т. е. так называемая частота т/п, как правило, мало отличается от вероятности р. Чем больше число повторений п, тем реже встречаются сколько-либо значит, отклонения частоты т/п от вероятности р. Для пояснения этого обстоятельства рассмотрим пример бросания монеты, в к-ром В. появления "герба" и "надписи" одинаковы и равны 1/2. При десяти бросаниях (т = 10) появление десяти "гербов" или десяти "надписей" очень мало вероятно. Но и утверждать, что "герб" выпадает ровно пять раз, нет достаточных оснований; более того, утверждая, что "герб" выпадает 4 или 5, или 6 раз, мы ещё довольно сильно рисковали бы ошибиться. Но при ста бросаниях монеты можно уже без практически ощутимого риска заранее утверждать, что число выпавших "гербов" будет лежать между 40 и 60 (см. подробнее Больших чисел закон).

Математич. В. может служить для оценки В. события в обычном, житейском смысле, т. е. для уточнения т. н. "проблематических" суждений, выражающихся обычно словами "возможно", "вероятно", "очень вероятно" и т. п. По поводу этих оценок следует иметь в виду, что в применении к любому определённому суждению, к-рое на самом деле может быть только истинным или ложным, оценка его В. имеет лишь временный или же субъективный смысл, т. е. выражает лишь наше отношение к делу. Напр., если кто-либо, не имея по этому поводу спец. сведений, захочет представить себе вид окрестностей Москвы 23 марта 1930, то он скажет: "вероятно, в этот день на полях лежал снег". Однако на самом деле в 1930 снег под Москвой к 22 марта уже сошёл с полей. Выяснив это обстоятельство, мы должны будем отменить первоначальную оценку, выраженную заключённым в кавычки пробле-матич. суждением. Тем не менее эта оценка, оказавшаяся в применении к данному индивидуальному случаю ошибочной, основана на верном общем правиле: "в начале двадцатых чисел марта на полях под Москвой по большей части лежит снег". Это правило отражает объективные свойства климата Подмосковья. Такого рода правила можно выражать, указывая уровень В. интересующего нас события, при тех или иных общих, осуществимых неограниченное число раз условиях. Эти оценки уже имеют объективный смысл. Поэтому употребление расчёта В. для подтверждения наших оценок степени надёжности тех или иных утверждений, относящихся к отд. индивидуальным событиям, не должно давать повода к мнению, что математич. В. является только числовым выражением нашей субъективной уверенности в наступлении некоторого события. Такое идеалистич., субъективное понимание смысла математич. В. является ошибочным. При последовательном развитии оно приводит к абсурдному утверждению, что из чистого незнания, анализируя одни лишь субъективные состояния нашей большей или меньшей уверенности, мы можем сделать какие-либо определённые заключения относительно внешнего мира.

Описанное выше употребление расчёта В. для оценки положения в отд. индивидуальных случаях неизбежно приводит к вопросу о том, какими В. можно пренебрегать на практике. Этот вопрос решается по-разному, в зависимости от того, насколько велика необходимость быстрого перехода от накопления надёжных данных к их действенному употреблению. Напр., если при данных условиях стрельбы теоретич. расчёт приводит к тому, что поставленная боевая задача будет решена данным числом выстрелов с В. 0,95 (т. е. В. того, что назначенного числа снарядов не хватит, равна 0,05), то обычно считают возможным исходить при руководстве боевыми операциями из предположения, что назначенное число снарядов окажется достаточным. В более спокойной обстановке науч. исследований принято пренебрегать лишь В. в 0,003 (эта норма связана с т. н. правилом трёх сигма), а иногда требовать и ещё большего приближения В. отсутствия ошибки к единице. В математич. статистике В., к-рой решено пренебрегать в данном исследовании, наз. значимости уровнем. Хотя в статистике обычно рекомендуют пользоваться уровнями значимости от 0,05 при предварит, ориентировочных исследованиях до 0,001 при окончательных серьёзных выводах, часто достижима значительно большая достоверность вероятностных выводов. Напр., основные выводы статистич. физики основаны на пренебрежении лишь В. порядка меньшего 0,000 000 000 1.

Подробнее об употреблении вероятностных методов в науке см. в статьях Вероятностей теория и Математическая статистика.

Лит.: Математика, её содержание, методы и значение, т. 2, М., 1956, гл. 11; Колмогоров А. Н., К логическим основам теории информации и теории вероятностей, в сб.: Проблемы передачи информации, т. 5, в. 3, М., 1969. А. Н. Колмогоров.

ВЕРОЯТНОСТЬ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ, показатель надёжности устройства, схемы или отд. элемента, к-рый оценивает возможность сохранения изделием работоспособности в определённом интервале времени или при выполнении заданного объёма работы.

ВЕРОЯТНОСТЬ ПЕРЕХОДА в квантовой механике, см. Квантовые переходы.

ВЕРОЯТНОСТЬ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКАЯ, число способов, к-рыми может быть реализовано состояние физ. системы. В термодинамике состояние физ. системы характеризуется определёнными значениями плотности, давления, темп-ры и др. измеримых величин. Перечисленные величины определяют состояние системы в целом (её макросостояние). Однако при одной и той же плотности, темп-ре и т. д. частицы системы могут различными способами распределиться в пространстве и иметь различные импульсы. Каждое данное распределение частиц наз. микро-состоянием системы. В. т. (обозначается W) равна числу микросостояний реализующих данное макросостояние, из чего следует, что423e3c_48-69.jpg В. т. связана с одной из основных макроскопич. характеристик системы энтропией S соотношением Больцмана: 423e3c_48-70.jpg где k - Болъцмана постоянная.

В. т. не является вероятностью в ма-тем. смысле. Она применяется в статистической физике для определения свойств систем, находящихся в термоди-намич. равновесии (для них В. т. имеет макс, значение). Для расчёта В. т. существенно, считаются ли частицы системы различимыми или неразличимыми. Поэтому классич. и квантовая механика приводят к разным выражениям для В. т. А. А. Лопаткин.